Angel-bueno
Pi.c
Historietas de Pi
por trescomacatorce

Citas
Antes de leer mi relato leer estas citas y pensarlas un poco ...

"Si consideramos el mundo de relaciones geométricas, allí duerme el milésimo decimal de Pi, aunque
jamás nadie trate de calcularlo
."
William James, The Meaning of Truth

"El rostro de Pi estaba enmascarado; se sobreentendía que nadie podía contemplarlo y continuar
con vida. Pero unos ojos de penetrante mirada acechaban tras la máscara, inexorables, fríos y
enigmáticos
."
Bertrand Russell, Nightmares of Eminent Persons

"Los decimales no calculados de pi, duermen en un misterioso reino abstracto, donde gozan de una débil realidad, hasta que no son calculados, no se convierten en algo plenament real, e incluso entonces su realidad es mera cuestión de grado"
William James, The Meaning of Truth

"... ese misterioso 3,14159... que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por
cualquier chimenea...

Si se toman al azar dos números naturales (enteros positivos) la probabilidad de que carezcan de divisores comunes es 6/Pi^2 .

"¡ Mamá, mamá! ¿ Por qué al andar no hago más que dar vueltas?"
"Niño, si no te callas te clavo al suelo el otro pie"
Chiste de humor negro (1955)

"En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden."
Heráclito (c.544-480 a. C.); filósofo griego

Estas frases valen más que todo el relato que cito a continuación, pero si queréis seguir leyendo...
vosotros mismos.

Introducción
En primavera de 1994 cayó en mis manos un libro del conocido Martin Gardner, prestigioso filósofo de la ciencia, el libro se llamaba Crónicas Marcianas y otros ensayos sobre fantasía y ciencia. Como es sabido,  Crónicas Marcianas es el título de un libro de Ray Bradbury, a partir del cual Martín Gardner realiza amplios comentarios.

La cuestión es que, me dio por releerlo y llegué al capítulo sobre el cálculo de los decimales de Pi que me atrajo extraordinariamente. En él hablaba de un gran matemático inglés del siglo pasado llamado Guillermo Shanks,  que se pasó 20 años de su vida calculando decimales de pi "a mano" y sólo llegó hasta el decimal 707, después de pasarse 20 años de su vida en ello. Esto me hizo pensar mucho, incluso me pasé  una noche en blanco imaginando la vida de Shanks.
De los decimales que calculó  sólo eran correctos 527.

El error no se descubrió hasta 63 años más tarde. Y ese error no se reveló hasta el año 1945 por otro matemático inglés llamado D. F. Ferguson.

Posteriormente, dos matemáticos norteamericanos: John W. Wrench, Jr y Levi B. Smith, llegaron a los 1.120 decimales en el año 1947 utilizando una calculadora preelectrónica. Después la cantidad de decimales fue creciendo y creciendo de manera asombrosa...hasta el dia de hoy...

Me puse a trabajar inmediatamente al dia siguiente, preparando un programa basado en el Algoritmo de matemático John Wallis para obtener dígitos a través de una hoja de cálculo de Lotus 123TM (versión 2.4) con macros. Mi tosco programa en un principio trabajaba a unos 1000 impares por segundo, después lo lleve a 2413 impares.

El programa no me parecía muy óptimo, así que pedí ayuda a mi amigo Mariano Egurrola que en una primera optimización con un programa en Turbo C ++ llegaba a 54000 impares y posteriormente, en un procesador Intel 486 50Mhz hasta 217803. Realmente la cifra es realmente alta. Podríamos llegar al decimal 12, 15, pero lo único que conseguiríamos es tener el ordenador conectado días y días, ya que cada decimal se esconde más y más. 

La realización de estos cálculos se prolongó durante dos días. Al cabo de este tiempo nos dimos cuenta de que el camino que habíamos seguido hasta entonces  no era el correcto,  ya que cada vez había que calcular más y más cada dígito hasta límites desconocidos. En otras palabras cada decimal nuevo costaba más de calcular que el anterior. (estaba más escondido).

Llegamos a la conclusión de que debíamos dejar una máquina calculando. Pero para sacar 10 dígitos decimales, los últimos que calcularía.  Dejamos una máquina en funcionamiento  e imprimiendo durante un  mes. Imprimía 1 página diaria aproximadamente.

El método de Wallis es muy ingenioso, pero sirve para obtener pocos decimales.

A partir de aquí, solamente  teníamos dos opciones:  una de ellas era utilizar otro algoritmo. Y la otra, una maquina más potente.

Al no tener  maquinas más potentes (1994) la solución fue estudiar el tema mucho más a fondo. Así que me dediqué a estudiar distintos algoritmos y la historia de pi a lo largo de los tiempos para llegar de alguna forma a conocer más a pi.

Procedimientos y Búsquedas
Está muy claro que el célebre matemático inglés llamado “Guillermo” no utilizó el algoritmo de Wallis, seguro que no, pues pasó 20 años calculando los decimales a mano, y un ordenador (Intel 486) de 1995 calcula bastante rápido, aproximadamente 288.001 impares cada 2 minutos, que no es poco. Probé con la versión 3.4 de Lotus 1-2-3TM y disponiendo de gran cantidad de memoria, realizando 8001 cálculos en cada bucle, y los resultados fueron similares a los que había obtenido con los primeros cálculos. Así que definitivamente, a partir de esta demostración había que intentar resolver el problema por otros caminos.

Buscando en infinidad de manuales leí que el equipo que más decimales había conseguido que era el equipo de Tamura y Kanada de la Universidad de Tokio a través de su nuevo algoritmo. Un procedimiento de cálculo sistemático que inventó hace una década Eugene Salamin en MIT. Este algoritmo se basa en una serie infinita de fracciones que, cuando se extiende, converge con gran rapidez sobre el número pi. El número de dígitos calculado se duplica a cada paso,  esto explica por qué las cifras de Tokio son potencias de 2. Curiosamente, en 1818 este algoritmo ya  había sido publicado por un genio matemático alemán llamado Carl Friedrich Gauss.

Algoritmos y Métodos encontrados
Algoritmo John Wallis
= 2 ( 2/1 x 2/3 x 4/3 x 4/5 x 6/5 x 6/7 ....)

Algoritmo Gottfried Wilhem von Leibniz
= 4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9...)

Método de Georges Luis Leclerc Buffon
Método de las agujas del que resulta un número poco exacto de pi. Primero hay que preparar una rejilla de 7 lineas horizontales de unos 10 cm de ancho y la separación entre las lineas será de 1,3 cm. Ahora tirararemos 4 trocitos de palillos de dientes de una longitud 0,65 cm. Si un palillo cae encima o atraviesa una de las líneas se anota un punto. Se anota el numero de puntos en 25 lanzamientos de los 4 palillos. Hay que dividir el total de palillos lanzados (100) entre el total de puntos conseguidos, ¿cual es el cociente? 100/30=3,3333 si esto se realiza muchisimas veces parece que se acerca a pi, mirar las simulaciones en los links de abajo.Buffon utilizaba un alfiler en vez de un palillo. Si lo quereis hacer con otras cosas recordar que la distancia entre las lineas ha de ser el doble longitud de lo que lanceis. Si os interesa el tema visitar los enlaces que valen la pena ya que se pueden realizar miles de lanzamientos.

http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html
http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html

Método Montecarlo
Se trata de unos monos que tiran dardos sobre un tablero cuadrado con una circunferencia inscrita.
Si se miran los que entran dentro de la circunferencia y fuera, se observa  su relación, podemos llegar a pi algo mejor que con el método de Buffon, pero no es demasiado bueno apenas nos da 2 o 3 decimales.

Historia de p
Viendo que la cosa iba para largo me dediqué a revisar históricamente a nuestro pi.

- En el Antiguo Egipto
Se consideraba pi = 3,1605

- En Antigua Babilonia
pi =3

- En China
se dan variedad de resultados en la antigüedad (Grandes matemáticos)
S. I pi =3,1447
S. II pi=3,10
S. III pi = 3,14
Polígono de 192 lados se comenta que evolucionó hasta el polígono de 3072 lados ---> pi =3,14159
S. V d.C un genial astrónomo chino llamado Tsu Ch'ung  calculó que  pi se acerca enormemente a  355/113.
En occidente hubo que esperar 1000 años para alcanzar este nivel.

-Europa
El genio de Arquímedes sabía que pi estaba entre 3 + 10/71 < pi < 3 + 1/7
La Biblia da a pi el valor 3
En el S. XVIII Lambert y A Legendre demostraron que pi no es un número racional.
El matemático y arquitecto militar holandés Ludolph Van Cenlen determinó primero 20 y después 35 cifras decimales del número pi. Van Cenlen fue el primero en superar los resultados del matemático de Asia central Kashi.

-Oriente Medio
Los Arabes tenían un arsenal de matemáticos, y obtuvieron 17 decimales exactos del número pi a través de los polígonos inscritos en una circunferencia. Estos cálculos fueron realizados  en la primera mitad del siglo XV y fueron llevados hasta la determinación del lado del polígono regular de 2832 Lados (Kashi). Para valorar más correctamente las proezas de los excelentes matemáticos árabes comentaremos que, al cabo de más de 150 años, en 1593, en Europa, F. Viete encontró solo 9 cifras exactas de pi mediante un polígono de 1722 lados.
Sólo a finales del siglo XVI y comienzos de XVII, Van Roomen repitió el resultado de Kashi y
posteriormente lo supero en Holanda  (1539-1610).
 

Comentarios

A propósito, la precisión de pi no era reclamada por exigencias prácticas. El móvil de esta búsqueda por parte de tantos matemáticos a lo largo de la historia fue: o la tendencia vanidosa de demostrar su maestría en el cálculo, o el esfuerzo ingenuo de "agarrar por los cuernos", con cálculos directos, el problema de la determinación de la naturaleza del número pi.

A partir de aquí, pensé que analizar la idea del polígono inscrito en  la circunferencia tal como lo habían  hecho los Arabes. Así que me puse manos a la obra y obtuve estos resultados.

Polígono inscrito en una circunferencia:
Nota: Solo pondré los decimales de pi verdaderos
 

Lados
Numero Obtenido
36
3,1
360
3,141
3.600
3,14159
36.000
3,1415926
360.000
3,141592653
3.600.000
3,14159265358
36.000.000
3,1415926535897
360.000.000
3,141592653589793.
3.600.000.000
3,14159265358979324


Trabajar solo con el poligono inscrito no es una buena idea, sino que hay que trabajar con el poligono inscrito
y circunscrito como ya hizo Arquimedes tiempos atrás.

 

Últimas Búsquedas
Después conseguí a través de la BBS de  Javier Sanchez Alcazar Smart BBS, un programa de Tony Stalls en MS/DOS (pi.zip) para el calculo de pi que desarrollaba la serie de Leibniz de nuevo  pero con gran rapidez. Este programa estaba inspirado en un Articulo de Ivar's Peterson publicado en la revista Science News, Vol 129, Nº6, pág. 91, titulado "Millones de dígitos de pi" que nos relata los esfuerzos de David H,Bailede -NASA'S Ames Research Center-, para calcular con la ayuda de un Cray-2 el valor de pi, con 29.360.128 dígitos. Pero Tony Stalls no se dió cuenta que con su algoritmo de Leibniz, no puede llegar muy lejos, aunque tenga  la potencia de “100 Cray-2”!!!. Ya que  cada decimal cuesta 10 veces más de obtener que el anterior, aunque el tiempo inicial sea muy bajo, a la que llevemos 25 decimales será  casi imposible continuar. Esta circunstancia se asemeja a a la relatada en la famosa paradoja del tablero de ajedrez y el grano de arroz que se va duplicando casilla a casilla; si sumamos todos los granitos de arroz de todas las casillas nos da una cifra absolutamente gigantesca.

Pues el problema del algoritmo de Leibniz consiste en que no se duplica sino que se multiplica por 10, así que es mucho peor.

Había que buscar otras soluciones.  Busqué en la Biblioteca de Matemáticas de la Universidad de Barcelona más  información, 
me comentaron que había un especialista en numerología  llamado Jordi Guardia. Desgraciadamente, no lo encontré, y
tampoco encontré ningún libro que me orientase.


Al no hallar otra salida me dediqué de nuevo a mirar a fondo los que ya tenía, intentando extraer alguna idea más.

Curiosidades encontradas :
En 1983,  Rajan Mahadevan  fue capaz de recitar de memoria 31.811 decimales de pi.
En 1610 el alemán Ludolph von Celem llegó a obtener 35 decimales de pi.
Esta aproximación la grabaron en su tumba y aún hoy llaman a pi en Alemania numero de ludolphine.

Sorpresa  final (en 1994)
Pero cual fue mi sorpresa cuando Mariano Egurrola, mi gran colaborador y amigo en este pasatiempo, me trajo un programa en "C" que calculaba decimales del número pi como si fuesen "churros". No sé de donde lo sacó. Este programa calculaba 100 decimales prácticamente en un tiempo despreciable y 10.000 dígitos en unas pocas horas. Estaba programado por Bill Davidsen a partir del método de G.M.Roe, basado en una versión para "E" suministrada con el compilador de lenguaje "B" en 1970, modificado por Alexander Morris en Septiembre de 1987, para hacerlo plenamente compatible con Borland Turbo "C". El programa fue modificado de nuevo  por Jeff Smith en Junio de 1990, para poder poner un nombre de fichero y poder ver luego el resultado. Mariano Egurrola realizó sobre el programa las modificaciones necesarias para eliminar la limitación de decimales por la cantidad de RAM,  e implementó el report de tiempo de inicio y tiempo de fin del calculo.
 
El programa para calcular Pi en 1994 !!!
(Ejecutable para MS/DOS Pitote.zip)
Programa Fuente Pi.c

Posteriormente le pedí que calculara 16.000  y esos son los que veis en mi página WEB

Los tiempos avanzan, hoy en dia hoy para calcular Pi tienes lo siguiente, muchisimo más

bueno y mejor de largo.

Os recomiendo encarecidamente que visites la web para que te lo bajes de allí el más actualizado, y si esta muy ocupado
el sistema te puedes bajar una versión de antes.


PiFast version 3.2, by Xavier Gourdon para W95/W98 y NT.


Links de Xavier Gourdon donde bajaros el mejor programa.
http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
http://xavier.gourdon.free.fr/Constants/Algorithms/splitting.html

Otros Links Interesantes:

Calculating Pi using Elementary Calculus
http://www.ams.org/new-in-math/cover/pi-calc.html

Fibonacci Numbers and the Golden Section
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

Grandes Colaboraciones de amigos de Pi.
Te gusta el tema de Pi, tienes algo que contarnos y quieres que aparezca aqui, solo tienes que enviarnos un mail con tu colaboración y aparecera aqui, creo que entre todos, Pi se comprenderá un poco más. Si la colaboración es muy grande se podrá como una página web nueva. como estas:
 

  • Nuevo algoritmo (Fernando Valdes, Colombia)
  • Mensajes Ocultos en Pi (Mario Peral Manzo, Mexico)
  • Cuadratura (Aprox)  del Circulo (Carlos Martín Piera, Spain)
  • Leonardo da Vinci y la cuadratura Humana (Carlos Martín Piera, Spain)
  • La proporcion Aurea y la Gran Piramide(Abelardo Falletti; Argentina)
  • Significado de la cuadratura del circulo (Abelardo Falletti; Argentina)
  • Las aventuras de Pi (Alberto Espinoza Castillo, Peru)
  • El cuadrado analógico (Hipercuadrado) (Mario Peral Manzo, Mexico)


  • mail
    .Pi.c
    Bibliografías Recomendadas sobre Pi
    (Por el Autor de la página y los Amigos del número pi)

    Título:Crónicas marcianas y otros ensayos sobre fantasía y ciencia.
    Autor: Martin Gardner
    Editorial:Paidós Studio (Ediciones PAIDOS) Nº 93
    ISBN 84-7509-809-6

    Título:Nuevos pasatiempos matemáticos
    Autor: Martin Gardner
    Editorial:Alianza Editorial (El libro de bolsillo)
    ISBN 84-206-1391-6

    Título: Estimar les matemàtiques
    Autor: Claudi Alsina i Català
    Editorial: Columna Assaig Eines 4
    ISBN 84-664-0017-6

    Título:La cresta del pavo real
    (Las matemáticas y sus raíces no europeas)
    Autor:George Gheverghese Joseph
    Editorial:Piramide
    ISBN 84-368-0975-0

    Título: EL SECRETO de los NÚMEROS
    Autor: André Jouette
    Editorial: MA NON TROPPO
    ISBN 84-95601-00-1

    Título: Historia de las Matemáticas
    Autor: K. Ríbnikov
    Editorial: Mir Moscú
    ISBN 5-03-001912-X

    Título: Arquímedes Alrededor del círculo
    Autor: R Torija Herrera
    Editorial: nivola
    ISBN 84-930719-1-9

    Título: Arquímedes y la palanca
    Autor: Paul Strathen
    Editorial: Siglo veintiuno editores
    ISBN 84-233-1016-6

    Título: Historia de la matemática
    Volumen 1 -> De la antigüedad a la baja Edad Media
    Autores: Julio Rey Pastor y José Babini
    Editorial: gedisa editorial
    ISBN 84-7432-807-1

    Título:Los números y sus misterios
    Autor:André Warusfel
    Editorial: Martínez Roca

    Título: Un club matemático para la diversidad
    Autor: Mª Luz Callejo
    Editorial: narcea
    ISBN 84-277-1070-4

    Título:The Computer Science Problem Solver
    Autor: Equipo de Investigación y Educación ( Director Dr M. Fogiel )
    Editorial: Research and Education Association
    ISBN 0-87891-525-7


    Otros Libros Interesantes ( Matemáticas )

    Título: Galileo (Antología)
    Edición de Víctor Navarro
    Editorial: Textos Cardinales / Ediciones Península
    ISBN 84-297-3272-1

    Título: Galileo At Work
    His Scientific Biography
    Autor: Stillman Drake
    Editorial: Dover Publications, INC (NY)
    ISBN 0-486-28631-2

    Título: El tío Petros y la conjetura de Goldbach
    Autor: Apostolos Doxiadis
    Editorial: Ediciones B (Grupo Z)
    ISBN 84-406-9490-3

    Título:El diablo de los Números
    Autor: Hans Magnus Enzensberger
    Editorial: Siruela
    ISBN 84-7844-374-6

    Título:El Laberinto mágico
    Autor: Ian Stewart
    Editorial: Crítica (Drakontos)
    ISBN 84-8432-193-2

    Título: Pitágoras (El filósofo del número)
    Autor: Pedro Miguel González Urbaneja
    Editorial: Nivola ( La matemática en sus personajes)
    ISBN 84-95599-08-2

    Nota: Los links son perecederos ya que Internet es un sistema muy vivo asi que si no encontrais las cosas
    a usar los buscadores que para eso están.  ;-)

    Si buscas en google, yahoo o altavista encontrarás de todo o casi.

    Doy las gracias a todos los amigos de Pi y en especial a Nuri y Merche por la super paciencia que tienen conmigo,
    para realizar esta web sin ningún animo de lucro y con afan constructivo de hacer llegar las matemáticas al
    máximo numero de persona
    s.

    Pi.c