TÍTULO: EL CUADRADO "ANALÓGICO" (HIPERCUADRADO)

 

 

 

 

 

 

AUTOR: MARIO PERAL MANZO

 

 

 

 

 

 

 

INSTITUCIÓN: UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL (UNIDAD 152, ATIZAPÁN)

 

 

 

DIRECCIÓN: DURANGO S/N COL. ISSEMYN CALACOAYA, ATIZAPÁN DE ZARAGOZA, ESTADO DE MÉXICO.

 

 

 

TELÉFONO: 53-98-35-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JULIO DE 1999

 

Este trabajo pretende evidenciar (no "demostrar") que es un error considerar a la curva cerrada simple (llamada circunferencia) del círculo como un polígono regular con un número infinito de lados.

Recordemos que, para esta concepción, el proceso que lleva a una línea (que parte del centro de un polígono regular cualquiera y perpendicular a uno de sus lados) de una simple línea perpendicular a una apotema y de allí al "radio" de la circunferencia, consiste en ir aumentando ad infinitum el número de lados del polígono regular inicial (a saber, el triángulo equilátero) hasta que logre "tocar" algún punto de la circunferencia del círculo; aceptado este supuesto tendríamos que admitir que jamás se logrará ese "tocamiento" o contacto con la circunferencia, dado el número infinito de lados de ese polígono que se parece tanto al círculo; ¡siempre se opondrá esa barrera de "lados" entre esta perpendicular y la circunferencia!

Así, no es relevante que un polígono tenga un infinito número de lados para que éste sea nombrado "circunferencia" ni la perpendicular aludida, "radio"; en otras palabras, así tenga un infinito número de lados el borde de un polígono regular, éste nunca dejará de ser precisamente eso: un polígono.

Para el cálculo del área de un círculo podemos partir del supuesto: el círculo es una figura geométrica única, conformada por su superficie y su circunferencia no discreta (continua); por lo tanto su diámetro y, por consiguiente, su radio, "tocan"[1] plenamente esta curva cerrada simple que carece de lados y de ángulos.

Para hacer más evidente lo absurdo de considerar a la circunferencia del círculo como una curva cerrada simple formada por un infinito número de lados, hemos decidido idear una figura "anómala" (a la que llamamos "cuadrado analógico" o "hipercuadrado") que se comporta como un círculo y que, al "relacionarse", con el cuadrado "típico" y el círculo (mediante la comparación de sus áreas) genera resultados "curiosos"[2] y hasta divertidos pero, lo más importante, propicia el planteamiento de dos problemas sobre los que el lector tendrá qué reflexionar. Comencemos, pues, con nuestros planteamientos:

Primeramente señalemos que el hipercuadrado "vive" inscrito en una circunferencia y su existencia es supuesta por el diámetro de la misma que no es más que la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos que constituyen al cuadrado "normal" o "típico"(véase la mostración" y el concentrado que la complementa en la figura l). Esta configuración especial permite, por un lado, cumplir con el supuesto de considerar la circunferencia como una curva cerrada simple continua (no discreta; supuesto arriba señalado) y, por el otro, mostrar el comportamiento de un polígono regular de cuatro lados que "pretende engañarnos" con el truco de que es un círculo.

Para evitar entrar en el conflicto de si puede llamársele "área", a lo que se calcula del hipercuadrado, hemos decidido llamarle simplemente "A" y al conjunto de estas medidas "ÁES" (aún a pesar de que para el círculo y el cuadrado "típico" sí sea correcto referirse a la medida de sus superficies como "áreas", adoptaremos el mismo criterio para estas figuras), lo mismo se aplica para las unidades de medidas lineales y cuadradas: la "U" será leída como "U lineal" y la "" como "U cuadrada".

La "figura 1" es un esquema que sirve de base para establecer una analogía entre el cálculo de la "A" de un círculo y la de un cuadrado (que da origen al hipercuadrado). La suposición que da principio a este ejercicio es:

"Si la razón que existe entre la hipotenusa de un cuadrado y su perímetro es constante para cualquier cuadrado independientemente de sus dimensiones (de manera semejante a la razón que existe entre el diámetro de un círculo y su circunferencia) entonces podremos realizar el cálculo de la "A" de cualquier cuadrado de manera análoga a la fórmula utilizada para el cálculo del área de un círculo cualquiera (A = p).

Como estrategia decidimos:

Inscribir en un círculo a un cuadrado de una "U cuadrada" (), de tal manera que la diagonal (que representa la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos que constituyen al cuadrado) fuera el diámetro del círculo (véase la figura 1).

Procedimiento y resultado:

Con la analogía expresada en la suposición manifestada líneas arriba, se calcularon las "ÁES" tanto del círculo y del cuadrado "analógico" como del cuadrado "típico". Las distintas "ÁES" se compararon por sus diferencias, estableciéndose que la suma de estas diferencias equivalía a  p-2 = 1. 141592654 .

Problemas: Del resultado anterior se nos ocurre plantear dos problemas para los lectores:

1.      ¿Qué representa la "A" del que hemos denominado de manera arbitraria "cuadrado analógico"? (si realmente es relevante que represente algo la dicha "A") y...

2.      ¿Por qué el resultado de las sumas de las diferencias entre las "ÁES" calculadas es de p-2 ?.

Aclaración: anticipadamente manifestamos que no sabemos las respuestas de estas preguntas, aunque sospechamos que dichas respuestas tienen que ver mucho con los resultados que suelen obtenerse al comparar conjuntos ordenados.

Para ampliar aún más el trabajo del lector, le sugerimos que estos cálculos que se realizaron con un cuadrado inscrito en un círculo, los haga también con un hexágono, un octágono, un dodecágono, en fin, con cualquier polígono regular con un número par de lados (dado que con estas figuras se cumple con el supuesto del "tocamiento" de la circunferencia por la correspondencia biunívoca entre los ángulos que las conforman).

Sería interesante también realizar algunas experiencias (con polígonos regulares constituidos por un número impar de lados) que recuperen la "curiosidad" a la que se refiere la nota "2" de " pie de página" de este trabajo.

Para concluir podemos decir:

1.      Primero,  que logramos cumplir con el propósito de "mostrar" (no de "demostrar"), mediante la generación de dos problemas derivados de este sistema, que es un error considerar a la curva cerrada simple (llamada circunferencia) del círculo como un polígono regular con un número infinito de lados y...

2.      En segundo lugar, auguramos muchas horas de reflexión lúdica a quienes se dediquen a realizar experimentos con los polígonos de un número par de lados (como ya lo habíamos sugerido).

 

 

 

FIGURA 1.

OBJETO (MOSTRACIÓN): UN CUADRADO, DE UNA "U" POR LADO, INSCRITO EN UN CÍRCULO.

 

 

 

 

 

 


                                    1 U

 

LAS CONSTANTES

EL CÍRCULO

C/d = p =  3.141592654 U

EL HIPERCUADRADO

P/h = y = 2 (¸) = 2.828427124 U

LA ANALOGÍA DE LA QUE DERIVAMOS LAS ANTERIORES CONSTANTES

ANALOGÍA a      C/d : p:: P/h : y

\  d/2 = r

                  h/2 = r

 

r = r = ¸/2 =  0.707106781 U

CÁLCULO DE "ÁES"

EL CÍRCULO

 

 

 

 

AI = p

 

AI = (3.141592654) (0.5)

= 1.570796327

EL CUADRADO "ANALÓGICO" (HIPERCUADRADO)

 

 

 

 

 

AII = y

 

 

 

AII = (2.828427124) (0.5)

                 =  1.414213562

EL CUADRADO "TÍPICO"

 

 

 

 

AIII =

 

 

AIII = = 1

DIFERENCIAS ENTRE LAS "ÁES"

AI - AII = 0.156582765

AII - AIII = 0.414213562

AI - AIII = 0.570796327

LA SUMA DE LAS DIFERENCIAS ENTRE LAS "ÁES"

 

(AI - AII) + (AII - AIII) + (AI - AIII) = p-2=  1.141592654

 

 

 

PROBLEMAS

 

1.      ¿QUÉ REPRESENTA "AII"?

 

2.      ¿POR QUÉ LA SUMA DE LAS DIFERENCIAS ENTRE AI, AII y  AIII  ES DE  p-2?

 



[1] ¿Más correctamente debemos decir "cruza" o bien: "se sitúa en ese límite que está entre la realidad y su imagen?"

[2] Curiosamente, en el caso de cualquier cuadrado, la perpendicular (que parte de su centro) a uno de sus lados puede ser tratado como su "radio" y, aplicando la misma fórmula para calcular el área de un círculo  (A= p) da exactamente su propia área.

Ejemplo: