LA CUADRATURA DEL CIRCULO: UN PROBLEMA INSOLUBLE
PERO DIVERTIDO.

Aunque hace tiempo que se sabe que la cuadratura con regla y compás es imposible (de hecho se ha convertido en el paradigma de problema insoluble) el buscar soluciones aproximadas resulta ser un interesante desafío de geometría recreativa.
Parece que en otro (?) tiempo hubo personas que soñando con la indudable fama que les proporcionaría resolver este problema se ofuscaron peligrosamente en él. No se pretende aquí resucitar tan peligrosa enfermedad. Se trata solo de un juego que podría tener una cierta utilidad pedagógica. Y que, al menos hasta donde yo he explorado, requiere solo unos conocimientos mas bien elementales de geometría. (Poco mas que el teorema de Thales y, por supuesto el de Pitágoras)

Si se trata de explicar en que consiste realmente el problema, resulta altamente instructivo proponer una construcción
aproximada de la cuadratura del círculo de modo que se pueda experimentar con lápiz y papel en que consiste tal problema.

Una construcción geométrica aproximada de la cuadratura del círculo con regla y compás con tales fines "pedagógicos"
o simplemente recreativos debería cumplir los siguientes requisitos:

1) la aproximación de pi debería ser la mejor posible
2) el número de pasos debería ser el mínimo posible
3) la construcción debería poder hacerse siguiendo la lógica de cualquier problema: partir del dato ... para llegar a la
solución, en este caso partir del radio del círculo (el dato) para llegar al lado del cuadrado (la solución).

Por ejemplo (ver Fig. 1) partiendo del radio OF (dato) de la circunferencia a cuadrar se haya su mitad (punto A) y luego la mitad de esta, es decir la cuarta parte del radio, de modo que se obtenga un segmento igual a 5/4 del radio (segmento OB) y tomando como radio este segmento se traza una circunferencia con el mismo centro (O) de la circunferencia de partida: los puntos de corte de esta circunferencia con los ejes de coordenadas (C, D E y F) nos dan los cuatro vértices del cuadrado solución.

 

Fig. 1

Este ejemplo reúne las condiciones 2 y 3 pero el valor de pi utilizado es

que es obviamente muy pobre (aunque con cierto valor histórico pues el que parece ser que utilizaban los babilonios 2000 años AC).
(Nota: en los ejemplos se ha utilizado un radio elegido al azar en 30 unidades. Todos los dibujos son igualmente válidos con cualquier otra medida.)

En la tabla siguiente se recogen en orden de aproximación creciente algunas construcciones aproximadas
de la cuadratura del círculo:

Construcción (del lado del cuadrado problema) Valor de pi equivalente Error relativo (ppm) (1) Origen Notas
Efectuar sobre el diámetro dos divisiones por tres sucesivas para obtener los 8/9 de él (16/9)2 = 4(8/9)2 = 3.16049 ~ 6000 El papiro Rhind1650 AC  
Hipotenusa del rectángulo isósceles de cateto = 5/4 R [(5raiz(2))/4]^2 = 3.125 ~ 5300 Babilonia 2000 AC  
Ver el texto:"CUADRATURA DE KEOPS": 4/raiz(fi) = 3.1446 959 ¿Egipto? ¿utilizada en la pirámide de Keops?
Ver el texto:"CUADRATURA DE 22/7" 22/7 = 3.14286 402 ?? Arquímedes manejo esta aproximación como "cota superior"
Cuadratura C.Calvimontes(Ver:http://www.urbtecto.com/ Cuadratura inspirada en un dibujo de Leonardo (3.1411092...) 154   Leonardo estudió cuadraturas gráficas y mecánicas
Sumar al cuadrado (R fi)2 otro igual a 1/5 del anterior 6/5 fi^2 = 3.1416408 15 Hobson 1913 (2)  
Hipotenusa del rectángulo de catetos 7/4 R y 9/32 R (56^2+9^2)/32^2 = 3.14160156 2.8 CMP Realizable en 13 pasos
Ver el texto 355/113= 3.14159292 0.085 Ramanujan 1913 (2), (3), (5) La fracción 355/113 ha sido atribuida a Tsu Ch'ung Chi
Ver descripción en el texto [(45raiz(2)(fi+1))/94]^2 = 3.141592685 0.01 Abelardo Falleti  
? (9^2+19^2/22)^(1/4) = 3.14159265258 0.00032 Ramanujan 1914 (2) (4)  

(1) partes por millón = ((va - pi)/pi)·1000000; va = valor aproximado de la construcción. Una forma mas gráfica de
visualizar la "ppm" es pensar en milímetros de error cometidos por cada Km

(2) citado en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html

(3) publicado en el Journal of Indian Mathematical Society.

(4) Publicado en el Quarterly Journal of Mathematics XLV (1914), 350-374, ambas referencias tomadas del anterior link.

(5) La descrita aquí podría no ser la original de Ramanujan
fi = razón áurea = 1.618033989
? = No he podido consultar las citas originales. Se agradecerá quien pueda proporcionarlas

Aunque contiene algunos datos históricos la tabla anterior no refleja ni de lejos el enorme esfuerzo que a lo largo
de la historia se ha dedicado a tan peculiar problema. Para empezar no menciona a Apolonio y sus cónicas, al-Haytham,
Cusa, Bernoilli, Hobbes y mas, (ver la página matriz de Ramón). Además me hubiera gustado añadir alguna de las
cuadraturas de esos pobres olvidados amateurs que a mediados del siglo XVIII todavía intentaban convencer a las
academias de haber resuelto el problema.


Desde Arquímedes en adelante los matemáticos mas "conscientes" intentaron aportar "demostraciones" (la palabra clave
en matemáticas) de sus soluciones al problema. Pero al mismo tiempo muchos de ellos cayeron atrapados en algo que
los humanos digerimos muy mal: las coincidencias. Quizás el caso mas clamoroso de esa trampa lo protagonizó Hobbes,
quien por otro lado, no era precisamente un estúpido.

La tabla que presento contiene algunas notables coincidencias junta a alguna que no lo es tanto. Mi propuesta es jugar
con ellas. Descubrir lo que de divertido hay en "resolver" la cuadratura del círculo. Pero sin olvidar que estamos jugando,
que el problema ha quedado no-resuelto para siempre.

Es verdad que el sentido común nos lleva con frecuencia a acertar cuando nos decimos que "algo tendrá que haber detrás..."
porque si no "...es demasiada casualidad...". Pero si las matemáticas tiene algo de especial es precisamente el que tales
asertos de "sentido común" no suelen significar nada. Lo cual no impide que a muchas coincidencias se le busquen
significados ocultos, mágicos, ... y lo que Vds. quieran.


Hablando de coincidencias: mi favorita es sin duda alguna la que aparece en la estupenda colaboración de Alberto Espinoza
y que viene del Apocalipsis 4ª 13-18 "... porque es número de hombre. Su número es 666.."

¿Qué mas se puede pedir?

Pasen y vean.

Cuadraturas, razón áurea y pirámide de Keops.

En la tabla anterior se indican tres "cuadraturas" en las que interviene el número fi =razón áurea (1.618033989...).
Si resulta atractivo mezclar dos números tan especiales como pi y fi, no digamos cuando ambos parecen encontrase
reflejados en las medidas de la Gran Pirámide de Giza construida hace unos 4500 años para el faraón Keops (o Khufu).
Veamos como se puede mezclar todo esto.


Podemos definir dos "pirámides teóricas" (tomado de: http://www.access.ch/circle/text1.html ) (Fig. 2)


· La pirámide de Taylor que se define como aquella en que la mitad del perímetro de la base es igual a
la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es la altura (ver figura). Es decir 4l = 2pih y también
h=2l/pi. Definida así, es fácil ver que el área del círculo es igual a la del triángulo-sección : pi(h/2)^2= (lh)/2.

· La pirámide "áurea" que es aquella donde la apotema están en razón áurea de la mitad del lado:
ap/(l/2)=fi. Aquí ocurre que h=(l/2)raíz(fi)

Fig. 2

SI AMBAS PIRAMIDES fuesen LA MISMA entonces podríamos igualar las dos expresiones de h, es decir:

En realidad 4/raiz(fi) = 3.1446... Esta aproximación de pi tiene un error del orden del 1 por mil.
Y ocurre que las estimaciones de las medidas reales de la pirámide de Keops vienen a tener
precisamente un margen de error del mismo orden (unos 20 cm, mas o menos, en un lado de 230 m)
(ver medidas detalladas en: http://www.aloha.net/~hawmtn/pyramid.htm ) .
¿Cual de los dos números pi o fi tenía en la cabeza el constructor de la pirámide de Keops?

¿Como tropezaron (si es que lo hicieron) los egipcios con la coincidencia:

¿ o, antes de eso, fueron conocedores de la razón áurea? ...
estas y otras parecidas son cuestiones que han dado mucho juego.
Ver p.ej., http://www.sover.net/~rc/deep_secrets/index.html

Y no falta quien afirma sin despeinarse que los egipcios habían
resuelto la cuadratura del círculo
(http://www.akenaton.com/Curiosidades/curiosidad.htm)


Fascinante si que es, pero cierto ...

Veamos como podría ser la

"CUADRATURA DE KEOPS":
Partiendo de la circunferencia que tiene por diámetro la altura de la pirámide se construye la razón áurea por el método convencional: en el triángulo rectángulo de catetos la altura y su mitad (es decir, el radio) obtenemos el punto A, que nos da el radio del arco con el que obtenemos los puntos B y B'; las rectas que parten de la cúspide, pasan por B y B' y llegan hasta "suelo" (C) nos dan los lados del triángulo sección (Fig. 3)

Fig. 3

; el lado del cuadrado se obtiene ahora haciendo uso de la proposición 14 del libro II de Euclides: se traza la circunferencia de diámetro h + l/2 (altura mas la mitad de la base) y se prolonga el lado-base hasta cortarla en el punto E: el segmento OE es el lado del cuadrado buscado

Fig. 4

El Sol, el círculo solar, era sin duda algo esencial para los egipcios así que no sería extraño encontrar relaciones entre las
pirámides y el círculo.

En cuanto a aproximaciones de pi, aparte de la documentada en el papiro Rhind, cabe preguntarse si los egipcios no
hubiesen elegido una aproximación de pi mas simple y mejor que la fórmula con fi. Me refiero a la fracción 22/7.

Lo interesante de esta fracción es que Arquímedes la reconoció como aproximación de pi. De haber creído que
22/7 "era" pi tal vez nos hubiese legado una cuadratura mas o menos como esta. Y a estas alturas no le consideraríamos
como el genio que fue.

 

"CUADRATURA DE 22/7"
Nota: esta no es la única construcción posible con la aproximación de 22/7 pero es la que me gusta a mi.

La construcción es como sigue (Fig. 5):

1. Hallar la mitad del radio R=OC y trazar un arco con centro en A y radio igual a 3/2 de R para hallar el punto B.

2. Construir el triángulo rectángulo ABC y sobre su cateto CB llevar la mitad de R para hallar el punto D.

3. Trazar una paralela al eje horizontal desde D hasta cortar al cateto opuesto y hallar así el punto E.

4. Desde E trazar una paralela al cateto CB hasta cortar al eje horizontal en F y desde aquí bajar una vertical hasta el corte en G con la diagonal del tercer cuadrante de la circunferencia origen.

5. La hipotenusa del triángulo rectángulo GAH es el lado del cuadrado buscado.

El sufrido lector puede ejercitarse en verificar que esta construcción usa como aproximación de pi:

 

Fig. 5

Esta construcción ejemplifica una cuestión curiosa: no siempre una aproximación aparentemente sencilla como la de 22/7 se traduce en una construcción geométrica igualmente sencilla. (Y si alguien encuentra otra mas sencilla, por favor, que me lo diga))

La razón áurea otra vez

Volvamos al tema de pi y fi. Existen desde luego relaciones matemáticas exactas entre ambos números, p.ej:

(basada en la serie que da pi en función de la arcotangente de ángulos menores de 45º, en este caso del de 36º o
pi/5 radianes).


O también:



(tomado de: http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html)

Además existe una relación entre la serie de Fibonacci y pi, excelentemente explicada en:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html

Nota: la primera serie aunque tiene a la pi "despejada" es de convergencia muy lenta ya que
para lograr un pi con error inferior a 1 ppm es preciso sumar los 16 primeros términos.
La segunda converge mas rápidamente ya que con los 4 primeros términos ya se reduce el
error a unas 5 ppm pero el problema entonces es despejar pi ¡!.


A mi entender no cabe extraer de tales fórmulas un grupo con los primeros términos que nos
diese una fórmula suficientemente aproximada y manejable para "cuadraturas".
Así que volvamos a las coincidencias.

Otra fórmula aproximada (tal vez la mas simple y elegante de las "coincidencias" con fi)
y que permite una cuadratura muy interesante es:

Esta fórmula (a diferencia de las otras aquí comentadas) obliga a operar desde el principio con cuadrados. En concreto obliga a dividir el cuadrado (fi R)2 en cinco para poder construir la suma 1 + 1/5 = 6/5. La división de un cuadrado en cinco áreas iguales (Fig. 6), es decir, la obtención del cuadrado 1/5, nos da una bonita figura:

 

Fig. 6

Visto esto, la construcción de esta cuadratura resulta sencilla y elegante (Fig. 7)

- construir el cuadrado (R fi)^2 es decir, hallar el segmento OA, mediante la construcción áurea y trazar un cuadrado con tal segmento como lado.

- Trazar los segmentos OM y AM' para hallar el punto B (no es preciso completar la división del cuadrado en 5 partes ya que AB es ya el lado del cuadrado quinta parte).

- Llevar AB al eje horizontal para hallar C: el triángulo rectángulo CAD permite la suma "1 + 1/5 = 6/5", su hipotenusa es el lado del cuadrado buscado.

Fig. 7

Nota: No estoy seguro que ésta sea la construcción de Hobson aunque está basada en la misma fórmula.

La tercera de las "cuadraturas" relacionadas con la razón áurea comentadas aquí es la descrita por Abelardo Falleti.
Es notable por su excelente aproximación, al tiempo que es de construcción no demasiado complicada.
Sin embargo tal y como la ha descrito su autor sigue el camino inverso: parte de un cuadrado para llegar al círculo.
Para que esta construcción pueda hacerse siguiendo la secuencia radio-dato > lado-solución, es preciso reorganizar la
fórmula original en esta otra:

Siguiendo esta versión de la fórmula la construcción sería (Fig. 8):

1. Construir la razón áurea de R (segmento AC) y unirlo a R; se obtiene así el segmento OC = R(fi+1).

2. Hallar la mitad del anterior segmento (M).

3. A este segmento mitad restarle 4/94 de él mismo (ver detalle en Fig.); para ello se toma en una recta auxiliar cualquiera un segmento de 45 unidades (o múltiplo) y otro de 47 (o múltiplo) y a continuación unir el extremo de 47 con el del segmento (R(fi+1))/2, es decir con M, y trazar una paralela por el punto 45 a tal segmento mitad para obtener N. El resultado ON será equivalente a tener R(fi+1)45/94.

4. Con el último segmento obtenido (ON) como radio trazar una circunferencia de centro en el origen de coordenadas (O): los puntos de corte de tal circunferencia con los ejes (P, Q, R y N) son los cuatro vértices del cuadrado buscado.

Fig. 8

Fig. 8b (detalle)

El paso 3 resulta algo farragoso de hacer con regla y compás reales pero con la moderna versión de estos,
un programa de dibujo de tipo CAD, no presenta mayor dificultad. Se trata no obstante de un paso que le
resta algo de "elegancia" a esta construcción (ver mas adelante ).

...
Después de tres fórmulas consecutivas en las que pi se relaciona con fi permitiendo "cuadraturas"
de aproximación creciente ... ¿existirán otras aún mejores ?, ¿es que solo la magia de fi permite
este juego de las cuadraturas?, ¿hay alguna pista para buscarlas?...

...


Ayudas para los buscadores de cuadraturas.

Supongamos que con un espíritu parecido al de los aficionados a los crucigramas nos hemos decidido a buscar
cuadraturas... ¿por donde empezar?.

"Planteamiento"

Bien, lo primero es plantear el problema en todos sus detalles.

Partimos de un segmento, el radio R y buscamos otro segmento x·R tal que
(x·R)^2 = x^2·R^2 = pi·R^2 por tanto x = raiz(pi).

P.ej. si tomamos x=16/9 entonces (16/9)^2 = 3.1605 es decir aproximadamente pi. Esto da lugar a una construcción sencilla: basta tomar los 16 novenos del radio o, mas sencillo aún los 8 novenos del diámetro para tener el lado del cuadrado (esta es la primera "cuadratura" de la tabla).

Es difícil encontrar fracciones que den una buena aproximación de raiz de pi. Además al elevar tales números al cuadrado
el error relativo a pi se eleva también al cuadrado. Empezamos pues a complicarnos la vida.

"Nudo"

Recurrimos a la mas sencilla de las operaciones aritméticas: la suma. Ni que decir tiene que el teorema de Pitágoras nos
da la construcción geométrica de la suma de cuadrados. Así pues, tenemos (a·R)^2 + (b·R)^2 = R^2(a^2 + b^2)
de modo que bastará construir un triángulo rectángulo de catetos a·R y b·R para que su hipotenusa sea el cuadrado que
buscamos y la aproximación de pi usada sería = a^2 + b^2.

P.ej., a= 7/4 y b=9/32 resulta: (7/4)^2 + (9/32)^2 = 3.1416015 es decir pi con un error de apenas 3 ppm..

En el ejemplo anterior los segmentos a y b son sencillos (aunque algo laboriosos) de construir especialmente porque
el divisor es una potencia de 2. Gracias a ello se puede usar la sencilla operación (típica "de regla y compás") de
dividir un segmento por la mitad (ver Fig 9 izda.) iterativamente hasta hallar ¼ o 1/32avo de R.


Fig. 9

Pero... ¿que pasa si nos planteamos como en la cuadratura de Falleti hallar la fracción 45/47 de un determinado
segmento? ... Para una tal división de un segmento en n veces siempre cabe recurrir al procedimiento general de
la fig. 9 dcha. Pero ... ¿se imagina el lector con un compás real marcando 47 tramos por la recta auxiliar, uno
detrás de otro ...? Si hemos de recurrir a tal sistema estaremos de acuerdo en que la construcción no resulta
"elegante".


El problema de la división de un segmento no es trivial. El lector interesado puede consultar:
http://www.etheron.net/usuarios/dgomez/sip.htm
y tal vez aplique tales procedimientos a una brillante cuadratura que me encantaría conocer .

Por supuesto que mi idea de la "elegancia" de una construcción no deja de ser una cuestión de pura estética.
Lo que para el compás resulta latoso para un programa de dibujo no es problema. Y al fin y al cabo el planteamiento
matemático original no se viola en modo alguno

Llegados a este punto ... ¿habrá cuadraturas con buena aproximación y que en un alarde de genialidad no requieran
hallar fracciones de segmento de "muchos" números?...

Desenlace
El mejor ejemplo que conozco de lo que yo considero una construcción sencilla, elegante y al tiempo notablemente
aproximada es la que Ramón menciona en la página matriz: la del chino Tsu Ch'ung Chi.

Todavía ignoro si ésta es también la construcción atribuida a Ramanujan en:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html
ya que ambas se basan el la fracción 355/113.

Se presenta aquí (Fig. 9) tal cuadratura en su versión radio-dato > cuadrado-solución:

 

1. Trazar tres mediatrices sucesivas en el radio CA para hallar el punto B en 7/8 de CA.

2. Trazar la recta BG y sobre ella llevar la mitad del radio CG para hallar el punto D.

3. Trazar la perpendicular desde D al radio CG para hallar el punto E.

4. Sobre la perpendicular en G llevar M para con ayuda de una circunferencia determinar el punto H. El segmento GH es así igual al MM'.

5. El triángulo rectángulo EGH permite así la suma de cuadrados: EG2 + GH2 = EH2 o, lo que es lo mismo:




Fig 10

¿Qué tiene de especial esta cuadratura?. Pues aparte de lograr una aproximación mejor que la décima de ppm sin echar
mano de números exóticos, la famosa fracción 355/113 posee las siguientes "coincidencias":

Sin tales coincidencias la cosa resultaría desde luego mas complicada y seguramente no tan "bonita"

En fin, el desenlace de nuestra pequeña comedia " receta para una cuadratura" es un poco triste:...
las bonitas coincidencias, como en la lotería no abundan.
(si algún lector es capaz de cambiar este final...suya será la gloria!!)

Los números no se rinden
Vale, nadie dijo que el problema era sencillo. Es mas, desde el principio sabemos que es imposible.

Pero, inasequibles al desaliento, nos decimos "¡al diablo con las elegancias!" y dispuestos a sobrellevar
estoicamente cualquier fracción y cualquier división de segmento, nos lanzamos de nuevo a la búsqueda
de mejores aproximaciones de pi.

Bien, si hemos de volver a usar una aproximación de pi del tipo: a^2 + b^2, y nos resignamos a que uno
de los sumandos sea una fracción, p.ej. b^2 = (p/q)^2 ¿porqué no empezamos por hacer que, al menos,
a^2 sea sencillo?.

¿qué tal, p.ej., a^2 = 1^2 = 1? ... y voilá:


con un error e = 3.3 ppm. Ciertamente una aproximación no muy brillante pero de construcción bien sencilla:

1. Sobre uno de los ejes (el horizontal en este caso, fig. 10) duplicar el radio dato OA para tener el mismo radio en AB.

2. Dividir AB por el procedimiento general para obtener el segmento 19/41-avos de modo que el segmento OC = OA + AC = 1 + 19/41 = 60/41 del radio.

3. El triángulo DOC rectángulo en O nos da la suma 1^2 + (60/41)^2 buscada

 

Fig. 10 A Noelia

Si en vez de tomar como sumando sencillo el 1 tomamos el 2 o el 3, las construcciones son apenas algo
mas complicadas ya que la construcción de las raíces de 2 o de tres son también fáciles. Con el 3 se
obtiene la mejor aproximación de esta familia:

(error = 0.16 ppm)
No está mal, considerando lo sencillo de la construcción, pero ...busquemos por otro lado ...

Dejamos hace un rato la cuadratura de A.Falleti como primer ejemplo de construcción donde
tuvimos que hacer uso de la división de un segmento en partes cualesquiera. Por otro lado nos
preguntábamos si el dorado número fi tenía algo realmente especial en este negocio de las
aproximaciones de pi. Bien, he aquí una de las muchas fórmulas aproximadas de pi que usa a fi:

 

... que tiene un error menor de 0.006 ppm. Algo mejor que la aproximación de Falleti pero
sin duda mas "fea" Ver la construcción en la figura 11 (no descrita)

 


Fig 11

A estas alturas el lector ya se habrá percatado de que con el truco de añadir una fracción podemos sacar
aproximaciones de pi de casi cualquier parte por lo que nos vemos obligados a concluir, no sin cierta desilusión,
que fi salvo las bonitas fórmulas de Keops y de Hobson, no nos da mucho mas. (¿o si?).

Para rematar la faena veamos un par de ejemplos mas de
bonito-número-mas-astuta-fracción = otra-aproximación de pi.

El primero tiene como protagonista al bonito número 1/[raíz(2-raíz(2))] también conocido como razón
cordobesa, que se define como la razón entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular
y el lado de este
(un oficio, como se ve, muy parecido al de fi con el decágono; ver http://www.arrakis.es/~mcj/cordoba.htm)



... con un error de 0.08 ppm.

Y en el segundo vemos como el "truco" de la "fracción astuta" mejora la venerable aproximación de 22/7


... y la pone al nivel de las de error inferior a 0.1 ppm (0.093).

Y después de todo esto ... ¿hasta donde podemos llegar?


La milésima de ppm y mas allá

En nuestra primera tabla el récord de aproximación lo ostenta la fórmula de Ramanujan
(cuya construcción por cierto sigo sin encontrar). Se trata de una fórmula sin duda tan
especial como su autor: con tres números, 9, 19 y 22, consiguió una aproximación mejor
que 1/3 de milésima de ppm.

Ramanujan parece que descubrió esta fórmula y otras semejantes en el curso de sus
trabajos sobre ecuaciones modulares.

Si el lector ha llegado hasta aquí le recomiendo encarecidamente que vea las páginas:
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html
y http://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html

En ellas puede encontrar otras aproximaciones debidas al genio de Ramanujan aunque
probablemente no tan aptas para una construcción geométrica sencilla (¿?).

Y también puede encontrar como obtener sistemáticamente aproximaciones de pi
basadas en la teoría de fracciones continuas:

(en estos casos al menos, las aproximaciones salen de la aplicación de un algoritmo matemático
demostrable, no se trata pues, en rigor, de meras coincidencias)

En esta serie están, como no, nuestras viejas conocidas 22/7 y 355/113. Pero lo
interesante es que la siguiente fracción a 355/113 tiene ya un numerador con el
doble número de dígitos!. Puestos a sobrellevar números tan antipáticos, cojamos
la última (de las escritas aquí, se entiende) 208341/66317 = 3.14159265346...
con un error menor que 40 ppb (partes por billón) ...! magnífico! ...mejor que
la de Ramanujan! Pero... ¿como convertir tal fracción en una sencilla (¿?!)
construcción geométrica?. Una posibilidad es recurrir una vez mas a Pitágoras
y descomponer la fracción en suma de cuadrados:

entonces:

Es decir que sacando la parte entera de la fracción y descomponiendo la fraccionaria pura en un producto
podemos reducir los 6 dígitos iniciales a fracciones de tres dígitos algo mas manejables. Algo es algo.
De paso nos hemos preparado la raíz de un producto que como ya vimos permite usar la construcción
que Euclides numeró como proposición 14 de su libro II, y que ya usamos en la cuadratura de Keops.

A partir de aquí el juego queda en las manos del lector. Números especiales como fi o la razón cordobesa,
fracciones mas o menos afortunadas, aproximaciones geniales al estilo Ramanujan, ... Estoy convencido
de que el tema es inagotable.

El Arte y las cuadraturas
Y si nos hemos aburrido de tanta coincidencia mas o menos árida siempre nos queda mirar hacia el mundo
del arte (aquí recomiendo visitar http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit1/INTRO.html
... especialmente las unidades 2 y 7.

Un amable lector (C.Calvimontes) me ha enviado esta referencia

http://www.urbtecto.com/

donde se estudia a fondo una de las "cuadraturas" mas famosas del arte (probablemente la mas
conocida de todas) la del hombre de Vitrubio de Leonardo Da Vinci.
Además el autor propone
otra de su propia cosecha Se recomienda encarecidamente su estudio .. y disfrute.

Y además, si el tema interesa, también recomiendo mi otra colaboración, como complemento al trabajo
de C.Calvimontes.

Nota aclaratoria
Como se ha visto, el problema de la cuadratura del círculo radica básicamente en la construcción
geométrica de la raíz de pi.

Un problema parejo es el de construir a pi mismo y el propio Ramón nos da dos magníficos ejemplos:
el del chino Tsu Ch'ung Chi y la de Hobbes.

Nótese que al construir a pi se está, de forma directa, calculando la longitud de la circunferencia.
Técnicamente hallar tal longitud se denomina "rectificar" la circunferencia.

De todos modos, tan transcendente es pi como su raíz y por tanto tan imposible es la cuadratura
del círculo como la rectificación de la circunferencia. Y así ya que ambos problemas son prácticamente
el mismo el rótulo cuadratura del círculo se usa en ambos sin distinción.

Invitación final
Se invita a los lectores a buscar construcciones que reúnan las condiciones indicadas: mejor aproximación
de pi, construcción sencilla, "elegante" y completa, desde el radio de partida hasta el cuadrado solución.

Aparte de su propia satisfacción las incluiré en la lista para mayor gloria del autor.
(No es gran cosa, ya lo sé, pero es todo lo que puedo ofrecer)

Carlos Martín Piera/ Madrid / 8/03/2002
e-mail: isaalv@terra.es