LEONARDO DA VINCI Y LA CUADRATURA
HUMANA
(colaboración basada en la página de Carlos Calvimontes:
http://www.urbtecto.com/ )
Sin duda, uno de los mas famosos dibujos de Leonardo da Vinci es el llamado
"hombre de Vitruvio"
LEONARDO DA VINCI Y LA CUADRATURA
HUMANA
(colaboración basada en la página de Carlos Calvimontes:
http://www.urbtecto.com/ )
Sin duda, uno de los mas famosos dibujos de Leonardo da Vinci es el llamado
"hombre de Vitruvio"
Fig 1.
Este dibujo se ha convertido en un auténtico símbolo ya que recoge
varias de las ideas claves del pensamiento renacentista: el hombre medida de
todas las cosas, la belleza ajustada a cánones, equilibrio, proporción
y demás.
El dibujo responde perfectamente al esquema descrito por Vitruvio
"... y también el ombligo es el punto central natural del cuerpo
humano, ya que si un hombre se echa sobre la espalda, con las manos y los pies
extendidos, y coloca la punta de un compás en su ombligo, los dedos de
las manos y los de los pies tocarán la circunferencia del círculo
que así trazamos. Y de la misma forma que el cuerpo humano nos da un
círculo que lo rodea, también podemos hallar un cuadrado donde
igualmente esté encerrado el cuerpo humano. Porque si medimos la distancia
desde las plantas de los pies hasta la punta de la cabeza y luego aplicamos
esta misma medida a los brazos extendidos, encontraremos que la anchura es igual
a la longitud, como en el caso de superficies planas que son perfectamente cuadradas".
(tomado de http://centros5.pntic.mec.es/ies.juan.de.mairena/leonardovi.htm)
En resumen: un círculo y un cuadrado que delimitan las dimensiones de
la figura humana.
El hombre de Vitruvio y la razón áurea
| ¿Cómo trazó Leonardo el círculo y el cuadrado? ¿que relación guardan ambas figuras?. |
Estas sencillas preguntas no tienen a mi entender una respuesta igualmente
sencilla. Veamos:
Si seguimos a Vitruvio al pie de la letra hemos de empezar por trazar el círculo
y, como se repite a menudo
(ver p.ej.:
http://www.pntic.mec.es/pagtem/arte/pintura/aurea3.htm
http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/goldslide/jbgoldslide.htm
http://thealchemicalegg.com/leotaroN.html
)
el mismo ombligo divide la altura por la razón áurea
por lo que el lado del cuadrado queda perfectamente definido. Es decir, sean:
D = diámetro del círculo y por tanto D/2 su radio
L = lado del cuadrado, por tanto: L/D/2 = 2L/D = fi = 1,618033989...
En virtud de esto Leonardo habría construido el cuadrado a partir del
círculo siguiendo una conocida construcción de la razón
áurea (ver Fig 2)
| Se halla la mitad del radio (D/2 = a) y con centro en tal punto medio y radio la distancia al extremo del radio horizontal se traza un arco que corte al diámetro vertical, esto nos da el punto p y por tanto el segmento b de modo que a+b = L lado del cuadrado. |
El cuadrado obtenido por tal procedimiento sin duda se parece al del original
pero..
¿es exactamente así?...
Fig 2
En la figura 3 se presenta el mismo dibujo abajo a la izquierda comparado con
otro en el que el tamaño del cuadrado con relación al círculo
es algo mayor
Fig 3
¿cuál se parece mas al dibujo de Leonardo?... Yo estimo que el
arriba. Y lo creo así cuando me fijo en las dos esquinas superiores del
cuadrado que quedan "cortadas" por el círculo. En el dibujo
original se las aprecia claramente. Si el trazado de Leonardo se hubiese ajustado
a la construcción áurea tales esquinas serían apenas visibles.
El dibujo de Leonardo y la cuadratura del círculo
Y aquí entra en escena la estupenda página de Carlos Calvimontes
: http://www.urbtecto.com/
Sabemos que el problema de la cuadratura del círculo ocupó y preocupó
a Leonardo quien no solo estudió formas mecánicas de resolver
el problema sino que llenó libretas de anotaciones con "cuadraturas".
Según Augusto Marinoni, 'El problema de geometría que absorbió
a Leonardo interminablemente fue la cuadratura del círculo. A partir
de 1504 en adelante dedicó cientos de páginas de sus cuadernos
a esta cuestión ... que fascinó a su mentor Pacioli ... . Mientras
que estas investigaciones no produjeron apreciables progresos en matemáticas
Leonardo creó una multiplicidad de complejos y preciosos diseños"
(traducido de http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html
)
¿Y QUE TIENE QUE VER ESTO CON NUESTRA PREGUNTA INICIAL?
La respuesta que nos da C.Calvimontes es bien sugestiva:
| el círculo visible en el dibujo de Leonardo procede de una construcción relacionada con la cuadratura del círculo. |
Fijémonos en la figura 4 :
Fig 4
La propuesta de C.Calvimontes es que el círculo visible de Leonardo
corta al lado del cuadrado del tal forma que el segmento R = distancia del
punto tangente inferior al corte del lado es el radio de un círculo
(oculto en el dibujo de Leonardo) de igual área que el cuadrado.
Se invita al lector a sacar una copia impresa del dibujo de Leonardo y verificar
sobre él (la copia impresa debe guardar las proporciones) que la propuesta
de C.Calvimontes "si non e vero e ben trovato"
.
Otras comprobaciones adicionales pueden hacerse en base a que el segmento R
queda definido por la relación:
(para cualquier par de valores D y L, si y solo si, D > L ya que si D<L la raíz es imaginaria y no hay punto de corte).
A partir de tal ecuación general puede deducirse:
Donde f representa la relación entre el lado y el radio del la
figura de Leonardo, es decir:
Con estas herramientas, si C.Calvimontes tiene razón entonces:
Que difiere de la razón áurea en un 1.5% aprox.
Esta diferencia es por un lado lo suficientemente pequeña como para haber
despistado hasta ahora a mucha gente empeñada en ver la razón
áurea en el ombligo del hombre de Vitruvio, pero también lo bastante
grande como para darnos cuenta que si Leonardo hubiese utilizado la construcción
de la razón áurea expuesta en la figura 2 (construcción
que sin duda conocía) el cuadrado no habría cortado al círculo
dejando las esquinas superiores tan visibles.
La "circulatura" del cuadrado
En este punto, nos volvemos a preguntar: ¿cómo trazó
Leonardo el círculo y el cuadrado de su dibujo?.
A la vista de lo anterior podríamos suponer que siguió las etapas
siguientes:
1. Partió del cuadrado que vemos ...
2. ...halló el círculo de igual área (círculo que
permaneció oculto)
3. dibujó luego otro círculo de igual radio pero con centro en
el punto medio del lado-base del cuadrado (ver fig. 4) y hallo los puntos de
corte con los dos lados, derecho e izquierdo, del cuadrado
4. trazó la mediatriz del segmento R y la prolongó hasta cortar
el eje vertical hallando así el centro del círculo que finalmente
es que aparece en su dibujo.
Para recorrer este camino Leonardo se habría planteado en el paso "2"
la cuadratura del círculo a la inversa,
es decir, la circulatura del cuadrado.
C.Calvimontes describe un camino tal como este. Pero lo hace asumiendo que Leonardo
utilizó como apoyo un círculo de diámetro igual a pi. En
este punto yo me permito (con todos mis respetos) discrepar.
Leonardo pudo haber encontrado la circulatura del cuadrado y utilizarla
para su genial dibujo. Y ello sin recurrir al círculo de diámetro
pi.
(obsérvese que resulta algo raro recurrir a un círculo de diámetro
pi cuando, tanto si buscamos la cuadratura del círculo como su inversa,
el problema radica precisamente en halla una construcción de pi)
|
Las pistas que hacen verosímil la construcción que a continuación describo son las siguientes:
|
¿Son estas pistas fiables?, ¿de verdad Leonardo "señaló" su círculo oculto en el propio dibujo? ...
|
Empecemos por los puntos que si nos dejó señalados: el centro del cuadrado (el sexo), O, y el que queda a medio camino hasta la cabeza, los pectorales, el punto F (ver fig 5). Y sigamos los siguientes pasos:
|
Fig 5
| Para continuar debemos ahora fijarnos en la figura siguiente (la fig 6): |
Fig. 6
Nota: las cotas aparecen multiplicadas por 100 para disponer de mas cifras significativas.
En lo que sigue, no obstante se asume que el lado del cuadrado de partida vale
1
| 6. Unir el punto D con el punto medio de la base del cuadrado J 7. Hallar la mediatriz de DJ y el corte de esta con el eje vertical, es decir el punto P 8. Con centro en P trazar el círculo de radio PJ = HD. Este círculo cortará obviamente al lado tanto en H como en D es decir el punto que señala la mano del hombre de Vitruvio. |
Esta sería la construcción vista directamente sobre el hombre
de Vitruvio:
Fig. 7
¿SIGUIÓ REALMENTE LEONARDO ESTE CAMINO PARA OBTENER SU "CIRCULO
OCULTO" A PARTIR DEL CUADRADO?
No lo sé . Esta construcción no la he encontrado en ninguna parte.
Es de mi cosecha, siguiendo las pistas que dejo Leonardo. Les dejo a los historiadores
con mas capacidad que yo de rebuscar los papeles de Leonardo, la tarea de ver
si en alguno de sus múltiples cuadernos dejó alguna pista que
permita verificar si fue esta la que realmente usó.
Por el momento, veamos que valor de pi se deduce de esta circulatura.
Volvamos a la figura 5. Los siguientes segmentos son fáciles de deducir:
Por Pitágoras en el triángulo FCE
Y aplicando Thales a los triángulos GAB y GCE
Se tienen así tres ecuaciones con tres incógnitas: v, t
y z de las que al despejar z nos queda:
Que nos da una ecuación de segundo grado en la que tomando la solución
positiva obtenemos:
Ahora ya estamos en disposición de averiguar el valor de y, es
decir la distancia al vértice superior del punto D, que como se
ve es la clave de esta construcción:
Conocido y conocemos x, ya que y = 1-x.
El siguiente paso nos lleva a los dos triángulos rectángulos y
semejantes delimitados por DJ, x y la semibase y por DJ/2 y el
punto H:
Despejando r obtenemos:
Como hemos partido de un cuadrado de lado 1 (recuérdese que las
cotas están multiplicadas por 100 en el dibujo) y por tanto área
1 tendríamos, si el círculo hallado "circula"
a tal cuadrado, que:
Es decir, pi con un error relativo menor de 10 ppm
(otros prefieren expresar esta aproximación como cociente, tanto mas
próximo a 1 como mejor sea la tal aproximación, en este caso resultaría
= 1.00000989 que por cierto es bastante mejor que el que aparece en :
http://members.telocity.com/stephenssmith/UCSC/papers/Paper.html
y especialmente en:
http://www.leonardo2002.de/ehome/egeheim/egeheim.html
Por cierto, ¿se han fijado que en esta construcción no se echa
mano de la razón áurea para nada?
¿de verdad no es tentador suponer que Leonardo halló esta circulatura?
Variaciones sobre el mismo tema
Que el círculo que venimos llamando "oculto" representa una
"cuadratura" o si lo prefieren una "circulatura" es algo
en lo que están de acuerdo tanto C.Calvimontes como Schröer &
Irle, autores de la ya citada y sugestiva página:
http://www.leonardo2002.de/ehome/egeheim/egeheim.html
Por cierto, merece la pena reseñar que esta última presenta una
explicación alternativa sobre el dibujo de Leonardo, según la
cual el círculo y el cuadrado visibles serían miembros de sendas
parejas de círculo y cuadrado asociados de forma iterativa. Mediante
tal ingenioso proceso iterativo, concluyen estos autores, se obtendría
también una cuadratura aproximada. El grado de aproximación que
mencionan es (en su notación) de 1.00037 lo que equivale a unas 370 ppm.
Esta página no detalla algunos puntos interesantes, para los que
me permito sugerir aquí alguna explicación.
La construcción que proponen se basa en dos círculos pequeños
con cuyo auxilio se determinan precisamente los puntos de corte del círculo
visible con el lado superior del cuadrado (fig 8):
Fig 8
Schröer & Irle mencionan que tales círculos tienen sus respectivos
centros en sendos puntos que aparecen apenas visibles en el trazo recto de la
base del cuello. Pero no indican como obtener por construcción ni el
tal trazo recto para el que he ofrecido mas arriba una posibilidad, ni tampoco
como halló Leonardo tales centros.
Bien, una vez mas me atrevo a ofrecer una posibilidad.
Retomemos la construcción tal como la dejamos en la figuras 6 y 7 para
continuar en la figura 9
Fig 9
|
1. Completar el triángulo D'JD , es decir el formado por
los extremos de los brazos y el tercer vértice en los pies. |
Sobre el dibujo original :
Fig 10
¿Qué diferencia hay entre esta construcción y la propuesta
por C. Calvimontes?
No demasiada, la verdad.
Se puede demostrar matemáticamente que mediante esta construcción
la razón f , ya definida mas arriba
del lado del cuadrado al radio del círculo visible vale:
1.64675,
mientras que con la construcción indicada por Carlos se obtiene un f
de
1.64216,
es decir ambas construcciones difieren en solo un 0.28%.
Desde luego es imposible decidir cual de las dos usó Leonardo (si es
que las usó) por la simple comparación con las reproducciones
disponibles de su dibujo. En ambos casos, p.ej., el centro del círculo
visible cae perfectamente sobre el ombligo.
Conclusiones
1. El circulo y el cuadrado visibles en el dibujo de Leonardo no están
casi con seguridad relacionados exactamente
por el número áureo. Tal relación aparece solo aproximada,
coincidencia de la que Leonardo probablemente se percató y que dejó
mas o menos visible, tal vez con el propósito de ocultar un significado
sin duda mas profundo e importante para él.
2. Es mas que probable que el hombre de Vitruvio esté de hecho señalando
el círculo oculto, aquel cuya área es igual a la del cuadrado
visible.
3. El círculo visible señala también al círculo
oculto (por su intersección con el cuadrado o construcciones alternativas)
y de paso, al tener su centro en el ombligo, permite que el dibujo siga el canon
de Vitruvio y por su aproximación a la razón áurea, permite
también incluirlo en la corriente renacentista que dio a la divina proporción
su rango de canon de la belleza.
Nota final:
Este trabajo no habría sido posible sin el de Carlos Calvimontes. Quiero
expresar aquí mi admiración y respeto por su trabajo. El que yo
discrepe con él en cuanto a lo que él denomina "del cuadrado
al círculo" no merma un ápice el valor de su trabajo.
Y por cierto es el turno de los historiadores... espero que Vds le den continuación
a todo esto...
Carlos M Piera.
Madrid 21 Marzo, 2002