Algoritmo de p - Eloy Conchillo

Algoritmo de p - Eloy Conchillo

En el siguiente trabajo se expone el proceso que seguí para hallar un nuevo algoritmo de Pi (p). La idea surgió después de leer el algoritmo hayado por Fernando Valdés, pero a diferencia de el suyo, en el siguiente no se trabaja con áreas, sino con la longitud de la cricumferencia. Veámoslo:

Partimos de un cuadrado de lado 2 (unidad), en el cual inscribimos un cuarto de circumferencia de tal manera que el radio de éste es igual al lado del cuadrado.
(Figura 1.1)

Y así, aseguramos que estamos trabajando con p sin lugar a dudas.

Pasemos al siguiente paso.
Si unimos AC mediante una recta (Figura 1.2), lo que tendremos será un segmento cuya dimensión no se aleja mucho de la longitud del arco, es decir, de p. Llamemos a este segmento "r1", cuya longitud es:

¿Cómo podemos hacer que el segmento r1 se acerque más al valor del arco? Hagamos esta vez, una división en el arco de la circumferencia, ayudándonos de la recta auxiliar "a1" (que divide el arco de la circumferencia en dos partes iguales), y tracemos dos segmentos, en lugar de uno. Veamos el dibujo (Figura 1.3):

Llamemos a los dos nuevo segmentos "r2"(*). La suma de las longitudes de los dos segmen- tos "r2", se aproxima mas al valor del arco (p) que el anterior segmento "r1". Pero esta vez, no podemos servirnos de Pitágoras para hayar la longitud de los dos segmentos "r2" ya que los triangulos que forman con los lados del cuadrado no son rectangulos. Lo haremos mediante el teorema del coseno:

(*) El subíndice de "r" es igual al número de segmentos en que dividimos el arco de circumferencia, por lo tanto, llamaremos "rn" al segmento que viene determinado después de dividir el arco en "n" partes.

Sabemos que el angulo recto del cuadrado ADC, queda dividido en dos ángulos iguales de 45º por la recta "a1". Gracias a la medida del ángulo, al radio de la circumferencia i al lado del cuadrado (que son iguales), podemos determinar la longitud exacta de los segmentos "r2".

Dada la fórmula (teorema del coseno):

Determinamos que:

Pero como hemos dicho anteriormente, ahora tenemos dos segmentos en lugar de uno, de modo que:

El valor de 2r2 se acerca todavía más al valor de p, pero podemos seguir haciendo divisiones en el arco de la circumferencia, y aumentar el número de segmentos que trazamos. Veamos otro ejemplo (Figura 1.4):

Esta vez, seguimos el mismo procedimiento que anteriormente, pero en lugar de dividir el arco "l" en dos partes iguales, lo hacemos en tres, de tal manera que obtendremos tres segmentos, a los cuales llama- remos "r3", y cuya suma tendrá un valor que se aproximará más al valor del arco "l" (p) que en el caso anterior, ya que al hacer más divisiones en éste, el error es menor.

Podemos hallar la longitud de "r3", mediante el teorema del coseno de nuevo, como en el caso anterior, sabiendo que ahora el ángulo recto ADC del cuadrado queda dividido en tres angulos de igual valor.

Pero sabemos que tenemos 3 segmentos "r3", de modo que:

Podemos observar que cuantas más divisiones hacemos en el arco "l", más nos aproximamos a su valor real, de modo que el objetivo final del procedimiento será hacer el máximo número de divisiones en "l", para cometer el mínimo error, ya que la longitud de "l" es p. Siguiendo el razonamiento, sabemos que tendremos el valor real del arco, es decir p, cuando hagamos "infinitas" divisiones en el arco "l".

Si observamos los tres casos expuestos anteriormente, nos daremos cuenta de que el error cometido al aproximarnos a la longitud exacta del arco "l"(p) depende del número de divisiones que hagamos en él, y que éste decrece a medida que el número de segmentos aumenta. Por lo tanto, podemos hacer una pequeña tabla donde se pueda apreciar la relación que hay entre las divisiones y el valor obtenido.

Núm. de partes de "l" (n)	Nombre del segmento	Núm. de segmentos	Valor del ángulo	Valor obtenido
1	r1	1	90º (90º/1)
2	r2	2	45º (90º/2)	3,0614
3	r3	3	30º (90º/3	3,1058

**A partir de esta tabla, podemos deducir cómo continua**

**A partir de aqui podemos deducir una pauta general**

Sabiendo que el radio de la circumferencia y el lado del cuadrado son constantes, deducimos que la longitud de cualquier segmento trazado dependerá del número de divisiones que se le hayan hecho al arco "l", y en consecuencia del ángulo. Si además miramos la tabla, veremos que un segmento "rn" vendrá determinado por un ángulo cuyo valor siempre será 90º/n. Y por lo tanto, la longitud de un segmento "rn" será:

Pero en función del número de divisiones que hagamos en "l", obrtendremos un número determinado de segementos, que para aproximarnos al valor del arco, deberemos sumar. De modo que si observamos de nuevo la tabla, veremos que el número de segmentos que obtenemos coincide con el número de partes que hacemos en "l", i con el denominador que divide el ángulo original de 90º. Así que, para aproximarnos al valor del arco, es decir, al valor de p, debemos multiplicar el valor del segemento, por el número de segmentos que hay, como venimos haciendo en los casos del principio.

Por lo tanto, si ponemos el valor de p (a partir de ahora subsituimos el valor del arco de circumferencia "l", por el valor de p, ya que son iguales, y nosotros queremos centrarnos es p), tenemos que:

Y por lo tanto:

Finalmente, como hemos dicho anteriormente, cuantas más divisiones hagamos en "l", más segmentos tendremos, y por lo tanto más nos acercaremos a su valor real, es decir a p, de manera que obtendremos su verdadero valor, cuando tengamos "infinitas" divisiones, de modo que podemos expresar p como:

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Pequeña variante de la fórmula:

Podemos hallar otra fórmula muy parecida, a partir del mismo procedimiento, pero en lugar de hacer divisiones siguiendo los números naturales (1,2,3...) hacerlas siguiendo las potencias de 2, es decir, (1, 2, 4, 8......). La fórmula queda así:

Por lo tanto:

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AVISO!!

Una vez llegados a este punto, es necesario comentar un pequeño error de coherencia de la fórmula.
¿Cómo calculamos el coseno? Si lo hacemos mediante la calculadora, no tiene garcia, ya que ésta utiliza p para hacerlo.
Podemos hacerlo a mano, mediante los desarrollos de Taylor, para ello se deben usar los radiantes (y no los grados), pero en este punto nos encontramos con un problema:

90º= p/2 rad y por lo tanto, es incoherente usar p para hallar p.

*Si alguien lee el procedimiento y conoce alguna solcuión para este problema, le estaría agradecido me lo comunicase a acte1@menta.net.
Muchas gracias.

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